【中2数学 1次関数 指導案】動点とグラフのわかりやすい授業

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こんにちは、育伸開発です。

今回は中2で学習する1次関数の応用・動点の問題の授業を行います。この問題は多くの生徒が苦手とするものです。点が動いていくのを把握するのが難しく、場所によって変域が変わってきます。それぞれの変域で関数の式も変わってくるので難しいと感じるのは無理もありません。

そんな生徒に向けての授業を用意しました。決まったパターンがありますから、それを押さえて手順どおりに作業を進めていきましょう。何問か解いて慣れれば解く力が付き、解けるようになります。

中3の2次方程式の単元でも動点の問題が出てきますから、中2のうちに慣れておくと後で楽になります。

復習できるようダウンロードできるプリントも用意しました。定期テストに向けて頑張るみなさんを応援します。頑張って下さい!

今回のダウンロード問題は全部で4問あります。数学が得意な方は先に問題を解いて、後から以下の解説授業を読んでいただいても構いません。

1次関数動点問題 1・2問目 sizeA4.pdf (7 ダウンロード)

1次関数動点問題 3・4問目 sizeA4.pdf (6 ダウンロード)

動点の文章問題を解く時の手順

動点の問題を解くには手順が4つあります。まずはサラッと確認しておいて下さい。具体的には問題を解いていくことで何を意味しているのかわかるようになります。

  1. xの変域を分けて表す
  2. 必要な部分の長さを文字式で表す
  3. 文字式で面積を表す
  4. 変域から座標を出してグラフにする

では模擬授業を始めます。

問題1:動点の移動距離を使う問題Ⅰ

先生:では授業をはじめます。気をつけ、礼。お願いします!今日は数学の1次関数の応用問題を扱っていくよ。動点の問題だ。

生徒:それって点が動くやつですか。

先生:そう。この問題は苦手とする人が多いよ。でも大丈夫。じっくり解説しながら授業を進めていくから一つ一つやっていけば解けるよ。そうしたらあとは慣れていくだけだ。まず手順を4つ紹介しよう。

  1. xの変域を分けて表す
  2. 必要な部分の長さを文字式で表す
  3. 文字式で面積を表す
  4. 変域から座標を出してグラフにする

先生:この通りにやっていけば答えを出せるようになるよ。では早速問題を1つ出すから、一緒に解いて行こう。

問題1 下の図のように、1辺が4cmの正方形ABCDがあります。点PはBを出発して辺の上をBからA、AからD、DからCまで進みます。点Pがx cm移動したときの△PBCの面積を y ㎠ とします。
(1)xとyの関係を表すグラフを書きなさい。
(2)点Pが10cm移動したときの△PBCの面積を求めなさい。



1-1:変域を分けて表す

先生:この問題でするべきことは、まずxの変域を分けて表すことなんだ。具体的には点Pが(1)辺BA上にあるとき、(2)辺AD上にあるとき、(3)辺DC上にあるときの3つになる。ちなみに問題文から「点PがBからx㎝移動したとき」と読めるので…

先生:BP=xと文字式で表すことが出来るよ。そうすと点Pが(1)辺BA上にある時、xの変域はどうなる?

生徒:0≦x≦4

先生:ナイス、その通り。点Pが4㎝移動すると点Aに到着して、そこから先は辺AD上を移動するからね。では点Pが(2)辺AD上にあるときの変域はどうなる?

生徒:4≦x≦8

先生:いいね、正解。BからAを通ってDまで点Pが進むのだけど、4㎝移動したAが辺AD上の最初の場所だ。そして…

先生:図のようにxが8㎝移動するとDに到着するね。ということでxの変域は 4≦x≦8 だ。では点Pが(3)辺DC上にあるときの変域はどうなる?

生徒:8≦x≦12

先生:ナイス!DからCまでの長さが4㎝だから…

先生:8㎝移動したところから始まって、12㎝移動するとCに到着するね。ということでxの変域は 8≦x≦12 だ。ここまでで手順1が終わったよ。まとめると以下の通りだ。

<xの変域>


点Pが…
(1)辺BA上にある 0≦x≦4(左図)

(2)辺AD上にある 4≦x≦8(中央図)

(3)辺DC上にある 8≦x≦12(右図)

1-2:変域ごとに文字式で面積を表す

先生:そうしたら次に手順2として、必要な部分を式で表そう。そして手順3として、 y= の形で三角形の面積を文字式で表すよ。まずは(1)だけどPBが△PBCの高さになっているね。そうすると底辺にあたるBCの長さを知りたいんだ。そのBCの長さって何㎝?

生徒:4㎝

先生:そうだ、1辺4㎝の正方形だからね。ナイス!

先生:ここまで来ると、三角形の面積yを文字式で表すことが出来るね。y=何?

生徒:y=2x

先生:ナイス、正解だ。三角形の面積は底辺×高さ÷2で出すから底辺と高さに4とxをあてはめて計算すればいいね。「÷2」は「×1/2」でもいいよ。

先生:ということで y=2x となった。そうしたら(2)の変域の時のy=の式がどうなるか考えよう。点Pが辺AD上にある時だ(4≦x≦8)。

先生:この時の底辺BCの長さは?

生徒:4㎝

先生:正解。では高さABの長さは?

生徒:4cm

先生:正解。実は点Pが辺AD上を移動している間、三角形の底辺と高さがずっと同じになっているね。

先生:図で左から右に向かって見ていくと、三角形が変形していっても常に緑色の底辺4㎝と赤色の高さ4㎝が同じ長さのままだね。ということは、面積が変わらないままなんだ。この時の面積 y はいくつ?

生徒:y=8

先生:良く出来ました!面積y=4×4÷2となって、計算して8と出てくるね。正解!では(3)の変域の時のy=の式がどうなるか考えよう。点Pが辺DC上にある時だ(8≦x≦12)。

先生:この時の底辺BCの長さは?

生徒:4㎝

先生:正解。では高さのPCの長さは?これ難しいよ。




先生:どうなった?

生徒:12-x

先生:おお、ナイス正解!DPの長さが出ていないから、1辺4㎝からDPの長さを引いて文字式で表そうとしても出来ないことに気づけたかな。ということで別の長さを出して、そこからPCの長さを出しにいこう。ちなみに3辺分の長さであるBからCまでの長さは何cm?

生徒:12cm

先生:そうだね。以下の図の緑色の部分の長さになるね。

先生:そうしたらBからPまでの長さは?

生徒:x cm

先生:いいね。以下の赤い部分だね。

先生:ということは、以下の図の通り…

先生:BからCまでの長さである12㎝(緑の部分)から余計な長さのx㎝(赤の部分)を引けばPC(青い部分)の長さが出てくるんだ。ということでPC=12-x。これは難しかったね。でも変域の3番目に辺3つ分の長さからxを引くと三角形の高さ(もしくは底辺)になるパターンがよくあるよ。時間がかかってもいいから頭に染み込ませて理解しておこう。そうすると…

先生:面積y=の式はどうなる?

生徒:y = 4(12-x)÷2

先生:いいね。計算出来るから計算すると、y=2(12-x)、更にカッコを外して計算してて順番を整理すると y = -2x+24 となるね。1次関数の式の基本形になるよう変形したよ。

先生:時間がかかったけど、こうしてそれぞの変域でxとyの関係がどうなっているのかの式も出すことが出来た。

1-3:グラフを書く

先生:これでグラフを書く準備が整ったよ。ここで問題文、変域と関係式をもう一度確認しておこう。

問題1 点Pがx cm移動したときの△PBCの面積を y ㎠ とします。
(1)xとyの関係を表すグラフを書きなさい。

<xの変域と関係式>

(1)0≦x≦4(左図)y=2x

(2)4≦x≦8(中央図)y=8

(3)8≦x≦12(右図)y=-2x+24

先生:ここからグラフを書いていこう。まず(1)としてxの変域が 0≦x≦4 で、式が y=2x のグラフを書こう。以下のグラフ用紙に書いてみて。

先生:やり方としては、y=2x は切片が0で比例の式になっているからまず(0,0)を通ることがわかる。そしてxの変域の最大値であるx=4 をy=2x に代入するとy=8が出てくるね。つまり(4,8)を通る直線だとわかるよ。その2点に印をつけてグラフにしよう。そうすると以下の通りになるよ。

先生:そうしたら、(2)と(3)の変域の部分もグラフにしてみよう。
先生:(2)のグラフはxの変域が 4≦x≦8 で、式が y=8 だから、上の図の通りになるね。xの変域の最小値4 の時の面積は8だから、(4,8)に印を打つ(さっきの印と重なるよ)。もう1つはxの変域の最大値8の時の面積も8ということで(8,8)に 印を打つ。そして水平な直線で結ぼう。
先生::(3)のグラフはxの変域が 8≦x≦12 で、式が y=-2x+24 だから、上の図の通りになるね。xの変域の最小値8 の時の面積は8だから、(8,8)に印を打つ(さっきの印と重なるね)。もう1つはxの変域の最大値12の時、x=12を y=-2x+24に代入しよう。面積y が0になるので(12,0)に 印を打つ。それを直線で結ぼう。

先生:このようにグラフが完成したね!

1-4:△PBCの面積を出す

先生:では次に面積を出しに行こう。問題(2)が残っていたね。

(2)点Pが10cm移動したときの△PBCの面積を求めなさい。

先生:では答えを求めてみて。



先生:答えは何㎠ になった?

生徒:4 ㎠
先生:ナイス、正解!これはいろいろ出し方があるけど、今回はさっき書いたグラフを見ると出しやすい。点Pが10㎝移動したということは、x=10ということだね。

先生:グラフの青丸の部分を見ると「x座標が10の時のy座標はいくつなのか?」という状態だね。視線を左の方へ動かそう。その時のy座標は4 とわかるね。つまり4 ㎠ だ。

先生:他の出し方もあるよ。x=10ということはxの変域が(3)8≦x≦12 の時だね。この時の式である y=-2x+24 にx=10を代入すると-20+24=4 と出るね。これで 4 ㎠ と出してもいいよ。これで問題1が解き終わりました。みんなよく頑張りました!


問題2:動点が秒速2cmで動く問題

先生:では2問目の問題に移ろう。2問目は動点が秒速2cmで動くよ。問題は以下の通りだ。まず読んでおいてね。

問題2 下の図のように、縦の長さが6cm、横の長さが12cmの長方形ABCDがあります。点PはBを出発して辺の上をBからC、CからD、DからAまで秒速2cmの速さで進みます。動き出してx秒後の△ABPの面積を y ㎠ とします。
(1)xとyの関係を表すグラフを書きなさい。
(2)点Pが動き出して11秒後の△ABPの面積を求めなさい。
(3)△ABPの面積が 30㎠ になるのは、点Pが動き出して何秒たったときですか。

2-1:変域を表す

先生:この問題も少しずつ一緒に解いていこう。この問題でするべきことは、まずxの変域を分けて表すことだね。具体的には点Pが(1)辺BC上にあるとき、(2)辺CD上にあるとき、(3)辺DA上にあるときの3つになる。それぞれの変域を出して、その後xとyの関係式を作ろう。

先生:では、(1)辺BC上にあるときのxの変域を出して。どうなった?

生徒:0≦x≦6

先生:ナイス、正解!今回は点Pの速さが秒速2cmだから、6秒で12cm移動してCまで到着するね。ということで動き出した瞬間の0秒後から3秒後までだ。xの変域は0以上3以下となる。では次に点Pが(2)辺CD上にあるときのxの変域を出して。どうなった?

生徒:6≦x≦9

先生:素晴らしい。辺CDの長さが6cmだから、秒速2cmで移動すると移動しきるのに3秒かかるね。ということで、6秒後から3秒たつと9秒後になる。だからxの変域は6以上9以下となる。では次に点Pが(3)辺DA上にあるときのxの変域を出して。どうなった?

生徒:9≦x≦15

先生:いいね、正解!(1)と同じように、6秒で12cm移動しきって到着するね。だから9秒後から6秒たつと15秒後になる。そして変域が9以上15以下になる。ということでそれぞれの変域を求めることが出来たわけだ。ここまでまとめると以下の通り。

<xの変域>


点Pが…
(1)辺BC上にある 0≦x≦6(左図)

(2)辺CD上にある 6≦x≦9(中央図)

(3)辺DA上にある 9≦x≦15(右図)

2-2:変域ごとの関係式を作る

先生:そうしたら次の手順に移ろう。必要な部分の長さを文字式で表す→面積を表す、これをやっていくよ。まずは(1)だけどBPが△ABPの底辺になっているね。そうすると底辺にあたるBPの長さってx秒後は何㎝?

生徒:2x (㎝)

先生:正解!

先生:点Pの速さが秒速2cmになっているね。1秒で2cm移動、2秒で4cm移動、3秒で6cm移動する速さだ。秒数の2倍の数字が移動した距離になっているから、秒後は2xcm移動することがわかるね。では次に三角形の高さを求めよう。何cm?

生徒:6(cm)

先生:その通りだ。長方形のたての長さがそのまま△ABPの高さになっているね。

先生:では面積yはどう表せる?

生徒:y=6x

先生:正解!2xと6を掛けて2で割ろう。そうすると6xとなるね。ナイス!では(2)辺CD上にあって変域が6≦x≦9の時を見ていこう。

先生:ずばり、y=いくつ?

生徒:36

先生:正解!点Pが辺CD上を移動している間、三角形の底辺と高さがずっと同じになっているね。

先生:底辺AB(青い部分)が6cmで、高さ(緑の部分)が12cmだから、6×12÷2=36だ。つまり面積 y=36となる。では(3)の変域の時のy=の式がどうなるか考えよう。点Pが辺DA上にある時だ(9≦x≦15)。これは少し難しいパターンだ。式を出してみて。




先生:では聞くけど、どうなった?

生徒:y=-6x + 90

先生:これは素晴らしい、正解!!これの出し方だけど2つ紹介しよう。まずは普通のパターンだ。

先生:△ABPの底辺をAB(青い部分)とすると、ここは6cmと出ているね。問題は高さのAP(緑の部分)の長さをどう文字式で表すかだ。1問目の(3)の変域のときにやったとおり、ぐるっと回ってきた部分に点Pがあるね。下の図を見てみよう。

先生:この場合はぐるっと回りきった全体(緑部分のBからAまで)から点Pが移動してきた部分(赤部分)を引けばAPの長さが出てくるよ。つまり緑の30から赤の2xを引けばいいから、AP=30-xとなるよ。

先生:そうすると、BからC,Dを通ってAまでの長さ(赤+緑の部分)は30cmだ。そしてx秒後のBからC,Dを通ってPまでの長さ(赤い部分)は2xになるんだったね。だからAPの長さは30-2x となる。そうしたら底辺×高さ÷2の式にあてはめよう。6(30-2x)÷2=3(30-2x)=90-6x=-6x+90となるね。つまりy=-6x + 90 となる。

先生:もう1つのやり方を紹介しておくね。xの変域が 9≦x≦15 と出ているんだけど、9秒後って点Pはどこになるかな?

生徒:D

先生:そうだね。18cm移動しているからDにあるよね。

先生:ということは面積が6×12÷2=36(㎠) と出てくるね。これは言い換えると9秒後は36㎠であり、グラフにしたときの座標(9, 36)を通るということだ。次にxの変域の最大値である15に注目しよう。15秒後は点PがAに到着してしまい、三角形が出来ないから(緑色の部分であるAPの長さが0になるから)面積が0㎠ であることがわかるね。つまり15秒後は0㎠であり、グラフ上で(15, 0)を通るということだ。2点の座標がわかっているから、そこから直線式に直してもいいよ。

*2点の座標が出ている場合の式の出し方は以下の通りになります。

2点の座標が(9, 36) (15, 0)

xの増加量は15-9=6

yの増加量は0-36=-36

→xの増加量分のyの増加量(y/x)を計算して、変化の割合が-6 とわかる(y=-6x+bとわかる)

y=-6x+b の式に(15, 0)を代入して 0=-90+b の方程式を解くとb=90 となる。

y=-6x+90 となる

2-3:グラフを書く

先生:ここまででグラフを書く準備が出来たね。グラフの問題と各変域に対応する関係式を確認すると以下の通りだ。

問題2 縦の長さが6cm、横の長さが12cmの長方形ABCDがあります。点PはBを出発して秒速2cmの速さで進みます。動き出してx秒後の△ABPの面積を y ㎠ とします。
(1)xとyの関係を表すグラフを書きなさい。

<xの変域と関係式>

(1)0≦x≦6(左図)y=6x

(2)6≦x≦9(中央図)y=36

(3)9≦x≦15(右図)y=-6x+90

先生:ではグラフを3つ繋げて書いてみて。

先生:では答え合わせと解説をしていこう。グラフは以下の通りになるよ。
先生:正解した人は以下の解説は読み飛ばして構わないよ。まず最初の変域だけど、0≦x≦6 で式が y=6x となっているね。比例式になっている(切片bの値が0になっている)のでy軸上0(=原点Oの位置)に印をつけよう。(0, 0)の位置だよ。次にxの最大値6 を式に代入するとy=6×6となって面積が36と出るね。つまり(6, 36)を通るとわかる。そこに印をつけて直線で繋ごう。以下の図の通り。
先生:次に(2)の変域だけど、6≦x≦9 となっていて、式が y=36 だね。この区間はxがいくつになっても面積が一定だ36ということだから、xの最大値9のときy=36だ。(9, 36)に印をつけて直線で繋ごう。以下の図の通り。
先生:最後に(3)だ。変域が 9≦x≦15 で式が y=-6x+90 だね。xの最大値 15 を式に入れて面積を確認しよう。y=-6×15+90を計算すると、y=0 となるね。(実は計算しなくても最後は面積が0になるのは既にわかっていたけど、)このことから(15, 0)を通るとわかる。そこに印をつけよう。ということでさっきの印の(9, 36)と直線で結べばグラフが完成だ。

2-4:面積を求める

先生:では次の問題を解いて行こう。問題を確認したら答えを出してみて。

問題2 点Pは秒速2cmの速さで進みます。動き出してx秒後の△ABPの面積を y ㎠ とします。
(2)点Pが動き出して11秒後の△ABPの面積を求めなさい。

先生:では聞きます。面積は?

生徒:24 ㎠

先生:いいね。11秒後の面積を求めなさいということは、x=11のときのyの値を式に代入して求めなさいということだ。ただしどの変域に当てはまるのかは確認が必要で、3番目の変域 9≦x≦15のところだね。そうしたらその変域の式である y=-6x+90 にx=11を入れて計算しよう。y=-66 + 90 となって、y= 24 が出てくるね。だから面積は 24 ㎠ だ。

2-5:秒数を求める

先生:では問題2の(3)を解いていこう。問題は以下の通りだから、確認したら解いてみて。

問題2 点Pは秒速2cmの速さで進みます。そしてx秒後の△ABPの面積を y ㎠ とします。
(3)△ABPの面積が 30㎠ になるのは、点Pが動き出して何秒たったときですか。

先生:では確認しよう。何秒?

生徒:5秒

先生:あー、おしいね。答えは5秒, 10秒だ。2つあるよ。今回は最初に面積が30と出ていて、逆に何秒たったのか求める問題だね。ということはy=30 のときのxはいくつなのか探しなさいということだ。

先生:上のグラフを見てみよう。y=30のところが2か所あるね(青い丸の部分)。そこを下にたどってx座標がいくつなのか確認しよう。ここで5秒,10秒というのがわかるね。このようにグラフを見るとみつけやすいよ。試験の問題の多くは整数で出てくるものが多いから、グラフを見て座標を読みとれるなら読み取って答えを書くと早くて正確だ。

先生:ただ問題によってはきちんと計算しないと答えを出せない場合があるから、そのやり方を紹介しておくね。その場合もグラフでざっくりと何秒になるのか確認しておくといいよ。面積30になっているところが左側で見つかるね。そこの変域 0≦x≦6 では式が y=6x だから、それに y=30 を代入しよう。そうすると 30=6x という方程式になって、それを解くと x=5 と出るね。だから5秒後だ。

先生:グラフ上ではもう一か所右側に面積30のところが見つかるから、そこの変域 9≦x≦15では式が y=-6x+90 だね。だからそれにも y=30 を代入しよう。そうすると 30=-6x + 90 という方程式になって、計算すると 6x=60 →両辺を6で割って x=10 と出るね。だから10秒後だ。こうやって計算で答えを出すやり方も出来るようにしておこう。

*ここまででプリントの問題がひと通り解けるようになりました。以下にダウンロードできるプリント問題を用意しましたので解いてみましょう。大問が全部で4つあります。そのうち問題1と問題2はここまでの授業で扱ったものと同じになります。まずは復習として解き直しをして慣れておきましょう。問題3と問題4は問題1と問題2それぞれに対応する類題となっています。問題1と問題2の解き方に慣れたらチャレンジしてみて下さい。

1次関数動点問題 1・2問目 sizeA4.pdf (7 ダウンロード)

1次関数動点問題 3・4問目 sizeA4.pdf (6 ダウンロード)



問題3:動点の移動距離を使う問題Ⅱ

先生:次に問題3を扱うよ。これは問題1の類題になるから、みんなにまず解いてもらおう。問題3と問題4のプリントをダウンロードして、そのうち問題3を解いて下さい。でははじめ!(以下は問題3の解説になりますので、解いたらこのページに戻ってきてくださいね。みなさん正解できますように!)

問題3 下の図のように、1辺の長さが6cmの正方形ABCDがあります。点PはDを出発して辺の上をDからC、CからB、BからAまで進みます。点Pがx cm移動したときの△APDの面積を y ㎠ とします。
(1)xとyの関係を表すグラフを書きなさい。
(2)点Pが15cm移動したときの△APDの面積を求めなさい。
(3)△APDの面積が 15㎠ になるのは、点PがDから何cm動いたときですか。

3-1:変域とグラフ

先生:では答え合わせと解説をしよう。(1)の答えとなるグラフは以下の通りだ。

先生:変域だけど、それぞれ点Pが(1)辺DC上にある 0≦x≦6、(2)辺CB上にある 6≦x≦12、(3)辺BA上にある 12≦x≦18 の3パターンに分ければいいね。それぞれの辺の長さから式を作り、グラフを作っていくと以下の通りになるよ。

(1)点Pが辺DC上にある 0≦x≦6

  • 三角形の面積を求める式は 底辺6に高さxを掛けて2で割ると3x になる → 式 y=3x
  • xの最大値6を式に代入してy=18 → (6, 18)と原点を通る直線をグラフにして書く

(2)点Pが辺CB上にある 6≦x≦12

  • 三角形の面積を求める式は 底辺6に高さ6を掛けて2で割ると18 になる → 式 y=18
  • xの最大値12の時y=18 → (12, 18)と先に印をつけた(6, 18)を通る直線をグラフにして書く(ここの変域の時は、xがいくつでも面積が18で変わらない=グラフが水平になる)

(3)点Pが辺BA上にある 12≦x≦18

  • 三角形の高さとなるAPの長さを出しておこう。上の図のように、APの長さ(右図の青い部分)はぐるっとまわってきたDCBAの長さ18(左図緑の部分)からDPの長さx(中央図赤の部分)を引いたものなので、18-xとなる。

  • 三角形の面積を求める式は 底辺6に高さ18-xを掛けて2で割ると6(18-x)÷2 になる → 式 y=-3x+54
  • xの最大値18を式に代入してy=0 → (18, 0)と先に印をつけた(12,18)を通る直線をグラフにして書く

3-2:面積を求める

先生:では問題3の(2)の答え合わせと解説だ。

問題3 点Pがx cm移動したときの△APDの面積を y ㎠ とします。
(2)点Pが15cm移動したときの△APDの面積を求めなさい。

先生:(2)の答えは何になった?

生徒:9 ㎠

先生:ナイス、正解だ!まずグラフを見て読み取れるか確認しよう。

先生:x=15のところを見て面積を読み取ると、9 ㎠ だと言えそうだね。でも正確でないかもしれないから、計算で出しておこう。xの変域が 12≦x≦18 の時の式は y=-3x+54 だったね。この式に x=15 を代入しよう。そうすると-45+54=9 となるね。やっぱり9 ㎠ が答えとして正解だとわかる。

3-3:移動距離を求める

先生:では(3)の答え合わせと解説だ。

問題3 点Pがx cm移動したときの△APDの面積を y ㎠ とします。
(3)△APDの面積が 15㎠ になるのは、点PがDから何cm動いたときですか。

先生:(3)の答えは何になった?

生徒:5cm, 13cm

先生:良く出来ました、正解!(3)の問題は面積15が先に出ているから、y=15 の時のxがいくつになるのかを探すということだね。まずグラフでy=15のところのxがいくつになっているか確認だ。

先生:そうするとはっきりとはわからないけど、大体x=5, 13 とわかるね。念のため y=15をそれぞれの変域の式である y=3x y=-3x+54 に代入して確かめてみよう。

y=3xに代入すると15=3xとなって、両辺を3で割ってx=5となる。

y=-3x+54 に代入すると15=-3x+54となって、計算して3x=39、両辺を3で割ってx=13となる。

先生:計算した結果、5cm, 13cm で正解したことがわかったね。


問題4:動点が秒速3cmで動く問題

先生:次に問題4を扱うよ。これは問題2の類題なんだ。ということで早速解いてもらおう。はじめ!(以下は問題4の解説になります。解いたらこのページに戻ってきてください。)

問題4 下の図のように、縦の長さが9cm、横の長さが18cmの長方形ABCDがあります。点PはAを出発して辺の上をAからB、BからC、CからDまで秒速3cmの速さで進みます。出発してからx秒後の△APDの面積を y ㎠ とします。
(1)xとyの関係を表すグラフを書きなさい。
(2)2秒後の面積を求めなさい。
(3)10秒後の面積を求めなさい。
(4)△APDの面積が 20㎠ になるのは、点Pが動き出して何秒たったときですか。

4-1:変域とグラフ

先生:では答え合わせと解説をしよう。(1)の答えとなるグラフは以下の通りだ。

先生:変域だけど、それぞれ点Pが(1)辺AB上にある 0≦x≦3、(2)辺BC上にある 3≦x≦9、(3)辺CD上にある 9≦x≦12 の3パターンに分ければいいね。それぞれの辺の長さから式を作り、グラフを作っていくと以下の通りになるよ。

(1)点Pが辺DC上にある 0≦x≦3

  • 点Pが1秒あたりで3㎝進むので、3秒後にBに到着する→変数xの最大値は3(変域が3まで)
  • 三角形の面積を求める式は 底辺18に高さ3xを掛けて2で割ると27x になる → 式 y=27x
  • xの最大値3を式に代入してy=81 → (3, 81)と原点を通る直線をグラフにして書く

(2)点Pが辺BC上にある 3≦x≦9

  • 点Pが1秒あたりで3㎝進むので、18㎝すすむのに6秒かかる。3秒後に6秒を足して、Cに到着するのは出発してから9秒後→変数xの最大値は9(変域が9まで)
  • 三角形の面積を求める式は 底辺18に高さ9を掛けて2で割って 81 になる → 式 y=81(面積が81で変わらない)
  • xの最大値9の時y=81 → (9, 81)と先に印をつけた(3, 81)を通る直線をグラフにして書く(この変域では面積が81のまま変わらないので水平な線を引く)

(3)点Pが辺CD上にある 9≦x≦12

  • 点Pが1秒あたりで3㎝進むので、9㎝すすむのに3秒かかる。9秒後に3秒を足して、Dに到着するのは出発してから12秒後→変数xの最大値は12(変域が12まで)
  • 三角形の面積を求めるためにDPの長さを出しておく必要がある。下の図のようにDPは緑色部分36から赤色部分の3xを引いて 36-3x と表せる。
  • 式は 底辺18に高さ36-3xを掛けて2で割って 18(36-3x)÷2 になる → 9(36-3x)=-27x+324 → 式 y=-27x+324
  • xの最大値12を式に代入してy=0 → (12, 0)と先に印をつけた(9, 81)を通る直線をグラフにして書く

4-2:面積を求めるⅠ

先生:では問題4の(2)の答え合わせと解説だ。

問題4 点PはAを出発して辺の上をAからB、BからC、CからDまで秒速3cmの速さで進みます。出発してからx秒後の△APDの面積を y ㎠ とします。
(2)2秒後の面積を求めなさい。

先生:答えを聞こう。面積は?

生徒:54 ㎠

先生:いいね、正解だ。2秒後の面積を求めるのでx=2 のときのyの値を求めよう。最初の変域 0≦x≦3 のところだね。そうしたらその変域の式である y=27x にx=2 を代入、27×2=54 だから y= 54 だ。面積は 54 ㎠ 。グラフを見て読み取っても良かったね。

4-3:面積を求めるⅡ

先生:では問題4の(3)の答え合わせと解説だ。

問題4 点PはAを出発して辺の上をAからB、BからC、CからDまで秒速3cmの速さで進みます。出発してからx秒後の△APDの面積を y ㎠ とします。
(3)10秒後の面積を求めなさい。

先生:面積いくつになった?

生徒:54 ㎠

先生:いいね、正解だ。2秒後の面積を求めるのでx=10 のときのyの値を求めよう。最後の変域 9≦x≦12 のところだね。そうしたらその変域の式である y=-27x+324 にx=10 を代入、-270+324=54 だから y= 54 だ。面積は 54 ㎠ 。グラフを見ても読み取れたね。

4-4:秒数を求める

先生:では問題4の(4)の答え合わせと解説だ。

問題4 点PはAを出発して辺の上をAからB、BからC、CからDまで秒速3cmの速さで進みます。出発してからx秒後の△APDの面積を y ㎠ とします。
(4)△APDの面積が 20㎠ になるのは、点Pが動き出して何秒たったときですか。

先生:何秒になった?

生徒:20/27秒、304/27秒

先生:ナイス、正解!今回のはグラフを見ておよそ1秒後と11秒後とわかるけど、はっきりとは読み取れないね。小数か分数で答えが出るかもしれないことを予想しつつ計算で答えを出しにいこう。y=20 ということだから、最初の変域の式と最後の変域の式に代入してxを求めよう。

最初の変域の式  y=27x に代入→ 20=27x →両辺を27で割って x=20/27(27分の20)…小数でおよそ0.74
最後の変域の式  y=-27x+324  に代入→ 20=-27x+324 →整理計算して27x=304 →両辺を27で割って x=304/27…小数でおよそ11.26

先生:両方分数で出したけど、約分できないのでそのまま答えにしていいよ。つまり 20/27秒、304/27秒が正解だ。最後は割り切れなくて不安になったかもしれないね。でも最後までよく頑張りました!では今日の授業はおしまいです。気を付け、礼!ありがとうございました!!

この後はミス問題などの解き直しをして慣れておくようにしましょう。ここで紹介した4問をスムーズに解けるようにしたら、あなたは動点問題マスターです。あとはみなさんお持ちの問題集を解いて更なる経験値を増やしてください。
いかがでしたか。動点問題は難しいですが、一つずつ解き慣れることで力がついていきます。そうなるよう手助けできればうれしいですね。最後まで読んでいただいてありがとうございました。
ではまた!
中3の「2次方程式・動点の問題」を勉強したい方は以下の授業をご覧下さい。
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